3. Zadatak

Dokažimo prvo sljedeću tvrdnju: prirodan broj $n$ je ljepuškast ako i samo ako je oblika $360-d$, gdje je $d$ neki djelitelj broja $360$ manji od $360$.

Prvo neka je $n$ ljepuškast. Tada postoji njegov djelitelj $d$ takav da je $n+d=360$. Kako $d$ dijeli $n$ i sebe, dijeli lijevu stranu jednakosti, pa dijeli i desnu. Dakle, $n$ se zaista može zapisati kao $360-d$, gdje je $d$ djelitelj od $360$. Očito je $d<360$, jer inače $n$ ne bi bio prirodan broj.

Pretpostavimo sada da se $n$ može zapisati kao $360-d$, gdje je $d$ djelitelj broja $360$ manji od tog broja. Tada iz jednadžbe $n=360-d$ slično kao ranije vidimo da $d$ dijeli izraze na desnoj strani, pa mora dijeliti i izraz na desnoj strani. Dakle, $d$ je djelitelj broja $n$, te vrijedi $n+d=360$, što ga čini ljepuškastim brojem.

Kako je svaki ljepuškast broj razlika broja $360$ i djelitelja broja $360$, zaključujemo da su

$$360-d_1,360-d_2,\ldots,360-d_N$$

svi ljepuškasti brojevi, pri čemu su $d_1,d_2,\ldots,d_N$ svi djelitelji broja $360$ manji od njega samog.

Zato traženi zbroj možemo pisati kao

$$I:=(360-d_1)+\cdots+(360-d_N)=360\cdot N-(d_1+\cdots+d_N)=360\cdot N-S,$$

gdje su $N$ i $S$ broj i zbroj djelitelja broja $360$ manjih od $360$.

Općenito, za prirodan broj $n$ s jedinstvenim rastavom na proste faktore u obliku

$$n=p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$$

vrijede formule za broj djelitelja $\tau(n)$ i sumu djelitelja $\sigma(n)$ (uključujući i $n$ kao svojeg djelitelja) redom:

$$\tau(n)=(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1),$$ $$\sigma(n)=\frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\ldots\cdot\frac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}.$$

Primjenom tih formula, dobivamo

$$\tau(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=24,$$ $$\sigma(360)=\frac{2^4-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=1170,$$

pa je $N=24-1=23$, te $S=1170-360=810$.

Zato je konačno

$$I=360\cdot N-S=23\cdot360-810=7470.$$