1. Zadatak

Kvadriranjem početne jednakosti dobivamo da vrijedi i

$$|x-1|+|x+4|=x^2.$$

Primjećujemo da lijeva strana jednadžbe poprima drugačije vrijednosti kada je $x\leq-4$, kada je $-4<x\leq1$, te kada je $x>1$, te ovisno o tome promatramo svaki slučaj posebno.

U slučaju $x\leq-4$ za izraz na lijevoj strani jednakosti vrijedi

$$|x-1|+|x+4|=(1-x)+(-4-x)=-3-2x.$$

Time dobivamo jednadžbu

$$-3-2x=x^2,$$

odnosno

$$x^2+2x+3=0.$$

Diskriminanta dobivene kvadratne jednadžbe je $D=-8<0$, pa zato u ovom slučaju ne dobivamo realno rješenje.

U slučaju $-4<x\leq1$ za izraz na lijevoj strani jednakosti vrijedi

$$|x-1|+|x+4|=(1-x)+(x+4)=5.$$

Time dobivamo jednadžbu

$$5=x^2,$$

iz čega slijedi $x=\pm\sqrt5$. Budući da mora vrijediti $-4<x\leq1$, jedino moguće rješenje je $x=-\sqrt5$.

Uvrštavanjem $x=-\sqrt5$ u početnu jednakost vidimo da to zaista jest rješenje.

U slučaju $x>1$ za izraz na lijevoj strani jednakosti vrijedi

$$|x-1|+|x+4|=(x-1)+(x+4)=2x+3,$$

pa dobivamo

$$2x+3=x^2,$$

odnosno

$$0=x^2-2x-3.$$

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su $x=3$ ili $x=-1$. Iz uvjeta $x>1$ zaključujemo da je jedino moguće rješenje $x=3$.

Direktnom provjerom za $x=3$ u početnu jednakost vidimo da to zaista jest rješenje.

Konačno, svi realni brojevi $x$ koji zadovoljavaju zadanu jednadžbu su $x=-\sqrt5$ i $x=3$.

Napomena: Jednakost iz teksta zadatka i prva jednadžba iz rješenja dobivena njezinim kvadriranjem zapravo su ekvivalentne jednadžbe. Naime, u početnoj jednakosti su obje strane nenegativne, pa je zaista svako rješenje jednadžbe

$$|x-1|+|x+4|=x^2$$

ujedno i rješenje jednadžbe

$$\sqrt{|x-1|+|x+4|}=\sqrt{x^2}=|x|.$$

Obratna tvrdnja očito vrijedi.