1. Zadatak

Kvadratna jednadžba $x^2+(1-m)x+m+1=0$ će imati dva različita realna rješenja ako je njena diskriminanta pozitivna, tj. ako vrijedi

$$D=(1-m)^2-4(m+1)=m^2-6m-3>0.$$

Rješavanjem gornje kvadratne nejednadžbe dobivamo da mora biti

$$m\in\left(-\infty,3-2\sqrt3\right)\cup\left(3+2\sqrt3,+\infty\right).$$

Rješenja početne kvadratne jednadžbe $x^2+(1-m)x+m+1=0$ su

$$x_1=\frac{m-1+\sqrt{m^2-6m-3}}2$$

i

$$x_2=\frac{m-1-\sqrt{m^2-6m-3}}2.$$

Direktnom provjerom vidimo da je $x_1>x_2$ pa da bi vrijedio drugi uvjet zadatka mora biti $x_1<2x_2$.

Uvrštavanjem gornjih formula za rješenja kvadratne jednadžbe redom imamo

$$\frac{m-1+\sqrt{m^2-6m-3}}2 <2\cdot\frac{m-1-\sqrt{m^2-6m-3}}2,$$ $$m-1+\sqrt{m^2-6m-3}<2m-2-2\sqrt{m^2-6m-3},$$ $$3\sqrt{m^2-6m-3}<m-1.$$

Budući da je $\sqrt{m^2-6m-3}\geq0$ iz gornje nejednakosti slijedi da nužno mora biti $m>1$.

Nadalje, kvadriranjem prethodne nejednakosti redom imamo

$$9(m^2-6m-3)<(m-1)^2,$$ $$8m^2-52m-28<0,$$ $$2m^2-13m-7<0.$$

Rješavanjem gornje kvadratne nejednadžbe dobivamo da mora biti

$$m\in\left(-\frac12,7\right).$$

Konačno, kombiniranjem svih uvjeta koje smo prethodno dobili za parametar $m$, dobivamo da za sve $m\in\left(3+2\sqrt3,7\right)$ vrijede uvjeti zadatka.