5. Zadatak

Dan je kvadrat $ABCD$ . Neka je $E$ točka na polupravcu $AB$ takva da je $\angle AED=27^\circ$ . Dužine $AC$ i $DE$ sijeku se u točki $S$ . Odredi mjeru kuta $\angle BSE$ .

Rješenje

Prvo rješenje.

Iz pravokutnog trokuta $AED$ imamo $\angle EDA=90^\circ-\angle AED=90^\circ-27^\circ=63^\circ$ .

Kvadrat ABCD, točka E i sjecište S

Kutovi $\angle BAS$ i $\angle SAD$ leže uz dijagonalu kvadrata, pa iznose $45^\circ$ . Također, vrijedi $|AB|=|AD|$ . Konačno, trokutima $ABS$ i $ADS$ je stranica $AS$ zajednička. Iz svega ovoga zaključujemo da su ti trokuti sukladni prema S-K-S poučku o sukladnosti.

Dakle, vrijedi $\angle ABS=\angle SDA=\angle EDA=63^\circ$ .

Konačno, u trokutu $SBE$ imamo

\begin{aligned} \angle BSE &=180^\circ-\angle SBE-\angle BES\\ &=180^\circ-(180^\circ-\angle ABS)-\angle AED\\ &=\angle ABS-\angle AED=63^\circ-27^\circ=36^\circ. \end{aligned}

Drugo rješenje.

Kutovi $\angle AED$ i $\angle CDE$ su kutovi s paralelnim kracima, pa je zato

\angle CDE=\angle AED=27^\circ.

Kutovi $\angle SCD$ i $\angle BCS$ leže uz dijagonalu kvadrata, pa iznose $45^\circ$ . Također, vrijedi $|DC|=|BC|$ . Konačno, trokutima $SCB$ i $SCD$ je stranica $CS$ zajednička. Iz svega ovoga zaključujemo da su ti trokuti sukladni prema S-K-S poučku o sukladnosti.

Dakle, vrijedi $\angle SBC=\angle CDS=\angle CDE=27^\circ$ .

Konačno, u trokutu $SBE$ imamo

\begin{aligned} \angle BSE &=180^\circ-\angle SBE-\angle BES\\ &=180^\circ-(90^\circ+\angle SBC)-\angle AED\\ &=90^\circ-\angle SBC-\angle AED=90^\circ-27^\circ-27^\circ=36^\circ. \end{aligned}