3. Zadatak

Sir se nalazi u točki $(13,13)$ , a miš trči pravocrtno od točke $(4,-2)$ do točke $(-1,23)$ . U kojoj se točki miš nalazi najbliže siru?

Prvo rješenje.

Pravac gibanja miša i najkraća udaljenost do sira

Jednadžba pravca po kojem miš trči je određena točkama $(4,-2)$ i $(-1,23)$ :

y-(-2)=\frac{23-(-2)}{-1-4}(x-4),

odakle sređivanjem dobivamo $y=-5x+18$ .

Potrebno je odrediti realan broj $x$ takav da se točka $(x,-5x+18)$ nalazi na dužini određenoj točkama $(4,-2)$ i $(-1,23)$ , te da je udaljenost točaka $(13,13)$ i $(x,-5x+18)$ najmanja moguća. Udaljenost tih točaka je

\sqrt{(x-13)^2+(-5x+18-13)^2}=\sqrt{26x^2-76x+194}.

Minimum kvadratne funkcije (pod korijenom) postiže se u njezinom tjemenu.

Za kvadratnu funkciju $26x^2-76x+194$ minimum se postiže u točki $x_0=\frac{19}{13}$ .

Da bi se točka $(x_0,-5x_0+18)$ nalazila na dužini, mora vrijediti $-1\leq x_0\leq4$ . Kako zaista vrijedi $-1\leq\frac{19}{13}\leq4$ , zaključujemo da je to naš traženi $x_0$ .

Konačno, tražena točka je $\left(\frac{19}{13},\frac{139}{13}\right)$ .

Napomena: Zadatak se može interpretirati i na sljedeći način: cilj je naći radijus $r$ kružnice sa središtem u $(13,13)$ takav da ta kružnica dira dužinu određenu točkama $(4,-2)$ i $(-1,23)$ . Uvjet dodira kružnice i pravca dobije se tako da se u dobivenoj kvadratnoj jednadžbi traži da je diskriminanta jednadžbe jednaka nuli (jer u suprotnom kružnica siječe pravac dvaput ili nijednom, ovisno o predznaku diskriminante).

Upravo na taj način se i izvodi formula za računanje udaljenosti $r$ točke $S(p,q)$ od pravca $y=kx+l$ :

r=\frac{|q-kp-l|}{\sqrt{1+k^2}}.

Drugo rješenje.

Jednadžba pravca po kojem miš trči je, kao u prvom rješenju, $y=-5x+18$ .

Točka na pravcu $y=-5x+18$ najbliža točki $(13,13)$ leži na presjeku tog pravca i njemu okomitog pravca koji prolazi točkom $(13,13)$ .

Odredimo pravac koji je okomit na pravac s jednadžbom $y=-5x+18$ i prolazi točkom $(13,13)$ . Iz uvjeta okomitosti koeficijent smjera iznosi $\frac15$ , pa jednadžba glasi

y-13=\frac15(x-13),

odnosno $y=\frac15x+\frac{52}{5}$ .

Nađimo presjek pravaca $y=-5x+18$ i $y=\frac15x+\frac{52}{5}$ :

\begin{aligned} -5x+18&=y=\frac15x+\frac{52}{5},\\ -\frac{26}{5}x&=-\frac{38}{5},\\ x&=\frac{19}{13}. \end{aligned}

Kao u prvom rješenju nalazimo ordinatu $\frac{139}{13}$ , te argumentiramo da se točka $\left(\frac{19}{13},\frac{139}{13}\right)$ zaista nalazi na dužini.