7. Zadatak

Prema Vièteovim formulama, za rješenja $x_1$, $x_2$ dane kvadratne jednadžbe vrijedi

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=b^2-2c.$$

Dakle, vrijedi $b^2-2c=2$, odnosno $c=\frac{b^2-2}{2}$.

Primijetimo da je

$$b+c=b+\frac{b^2-2}{2}=\frac{b^2+2b-2}{2}=\frac{(b+1)^2-3}{2}.$$

Dana jednadžba ima realna rješenja pa je nužno $b^2-4c\geq0$.

Zbog $c=\frac{b^2-2}{2}$ uvjet $b^2-4c\geq0$ postaje $b^2\leq4$, odnosno $-2\leq b\leq2$.

Sada iz uvjeta $-2\leq b\leq2$ redom slijedi

$$\begin{aligned} -1&\leq b+1\leq3,\\ 0&\leq(b+1)^2\leq9,\\ -3&\leq(b+1)^2-3\leq6,\\ -\frac32&\leq\frac{(b+1)^2-3}{2}\leq3. \end{aligned}$$

Kako je $b+c=\frac{(b+1)^2-3}{2}$, zaključujemo da $b+c$ može poprimiti proizvoljnu vrijednost u intervalu $\left[-\frac32,3\right]$.