4. Zadatak

Neka je kocka podijeljena na $n^3$ sukladnih manjih kockica.

Svakoj od $5$ plavo obojenih strana kocke odgovara točno $(n-2)^2$ kockica kojima je točno jedna strana plava. Dodatno, na svakom od $4$ ruba neobojenih strana kocke nalazimo još po $n-2$ kockica kojima je točno jedna strana plava. Dakle, ukupno postoji $5(n-2)^2+4(n-2)$ kockica kojima je točno jedna strana plava.

Rješenja kvadratne jednadžbe $5(n-2)^2+4(n-2)=649$ su $13$ i $-\frac{98}{10}$.

Zanima nas samo prvo, jer se radi o prirodnom broju. Dakle, $n=13$.

Sličnom argumentacijom kao gore, uz $8$ bridova kocke koji su zajednički za dvije obojene strane kocke nalazi se ukupno $8(n-2)$ kockica kojima su dvije strane obojene. Nadalje, u $4$ vrha neobojene strane nalazi se još ukupno $4$ takve kockice. Zato je ukupno

$$8(n-2)+4=8\cdot11+4=92$$

kockica koje imaju točno dvije plave strane.

Napomena: Jednadžbu $5(n-2)^2+4(n-2)$ moguće je riješiti na više načina u prirodnim brojevima. Recimo, primjećujući da je izraz $5m^2+4m$ rastući po $m:=n-2$, a $m=11$ je neko rješenje, pa i jedino, ili koristeći rastav $649=11\cdot59$ i jednakost $m(5m+4)=649$.