4. Zadatak

Tvrdimo da je najveća moguća vrijednost konstante $\lambda$ jednaka $\sqrt3$. Naime, lako je vidjeti da za $u=v=w=\dfrac{\sqrt3}3$ vrijedi $u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}=1$ i $u+v+w=\sqrt3$. Dakle, najveća vrijednost konstante $\lambda$ je manja ili jednaka $\sqrt3$. Pokazat ćemo da za $u,v,w>0$ za koje je $u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\ge1$, vrijedi $u+v+w\ge\sqrt3$.

Prvi način. Iz danih uvjeta i nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine imamo

$$u\cdot\frac{v+w}2+v\cdot\frac{w+u}2+w\cdot\frac{u+v}2\ge u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\ge1,$$

odnosno

$$uv+vw+wu\ge1.$$

Kako vrijedi

$$\begin{gathered}(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2\ge0,\\u^2+v^2+w^2\ge uv+vw+wu\ge1,\end{gathered}$$

slijedi

$$(u+v+w)^2=u^2+v^2+w^2+2(uv+vw+wu)\ge3,$$

odnosno $u+v+w\ge\sqrt3$. Jednakost vrijedi ako i samo ako je $u=v=w=\dfrac{\sqrt3}3$.

Drugi način. Primjenom najprije aritmetičko-geometrijske, a zatim i Cauchyjeve nejednakosti imamo

$$\begin{aligned}\frac{(u+v+w)^4}9&=\left(\frac{u+v+w}3\right)^3\cdot3(u+v+w)\ge3uvw(u+v+w)=\\&=(uvw+vwu+wuv)(u+v+w)\ge\left(u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\right)^2\ge1.\end{aligned}$$

Dakle, vrijedi $u+v+w\ge\sqrt3$. Jednakost vrijedi ako i samo ako je $u=v=w=\dfrac{\sqrt3}3$.

Treći način. Stavimo $x=\sqrt{uv}$, $y=\sqrt{vw}$, $z=\sqrt{wu}$. Tada zbog zadanog uvjeta vrijedi

$$xy+yz+zx=v\sqrt{wu}+w\sqrt{vu}+u\sqrt{vw}\ge1.$$

Primijetimo da je $u=\dfrac{zx}y$, $v=\dfrac{xy}z$, $w=\dfrac{yz}x$. Primjenom nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine imamo

$$2(u+v+w)=\left(\frac{zx}y+\frac{xy}z\right)+\left(\frac{xy}z+\frac{yz}x\right)+\left(\frac{yz}x+\frac{zx}y\right)\ge2x+2y+2z,$$

odnosno $u+v+w\ge x+y+z$. Kao u prvom rješenju, dobivamo

$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\ge3(xy+yz+zx)\ge3,$$

te konačno

$$(u+v+w)^2\ge(x+y+z)^2\ge3,$$

odnosno $u+v+w\ge\sqrt3$. Jednakost vrijedi ako i samo ako je $u=v=w=\dfrac{\sqrt3}3$.