Oduzimanjem zadanih jednadžbi dobivamo jednadžbu
w − w 2 = z − z 2 w-w^2=z-z^2 w − w 2 = z − z 2 koja je ekvivalentna jednadžbi
( w − z ) ( w + z − 1 ) = 0. (w-z)(w+z-1)=0. ( w − z ) ( w + z − 1 ) = 0. Budući da je w − z ≠ 0 w-z\ne0 w − z = 0
w + z = 1. ( 1 ) w+z=1.\qquad(1) w + z = 1. ( 1 ) Kvadriranjem te jednakosti dobivamo
w 2 + z 2 = 1 − 2 w z , ( 2 ) w^2+z^2=1-2wz,\qquad(2) w 2 + z 2 = 1 − 2 w z , ( 2 ) a ponovnim kvadriranjem
w 4 + z 4 = 1 − 4 w z + 2 ( w z ) 2 . ( 3 ) w^4+z^4=1-4wz+2(wz)^2.\qquad(3) w 4 + z 4 = 1 − 4 w z + 2 ( w z ) 2 . ( 3 ) Prva jednadžba danog sustava ekvivalentna je jednadžbi
w 5 − z 5 w − z = − 1. \frac{w^5-z^5}{w-z}=-1. w − z w 5 − z 5 = − 1. Ona se može zapisati u obliku
( w − z ) ( w 4 + w 3 z + w 2 z 2 + w z 3 + z 4 ) w − z = − 1 , w 4 + w 3 z + w 2 z 2 + w z 3 + z 4 + 1 = 0 , w 4 + z 4 + w z ( w 2 + z 2 + w z ) + 1 = 0. \begin{gathered}\frac{(w-z)(w^4+w^3z+w^2z^2+wz^3+z^4)}{w-z}=-1,\\w^4+w^3z+w^2z^2+wz^3+z^4+1=0,\\w^4+z^4+wz(w^2+z^2+wz)+1=0.\end{gathered} w − z ( w − z ) ( w 4 + w 3 z + w 2 z 2 + w z 3 + z 4 ) = − 1 , w 4 + w 3 z + w 2 z 2 + w z 3 + z 4 + 1 = 0 , w 4 + z 4 + w z ( w 2 + z 2 + w z ) + 1 = 0. Uvrštavanjem (2) i (3) i sređivanjem dobivamo jednadžbu
( w z ) 2 − 3 w z + 2 = 0 , (wz)^2-3wz+2=0, ( w z ) 2 − 3 w z + 2 = 0 , rješavanjem koje slijedi da je w z = 1 wz=1 w z = 1 w z = 2 wz=2 w z = 2 z = 1 w z=\dfrac1w z = w 1 z = 2 w z=\dfrac2w z = w 2 w 2 − w + 1 = 0 w^2-w+1=0 w 2 − w + 1 = 0 w 2 − w + 2 = 0 w^2-w+2=0 w 2 − w + 2 = 0
( w , z ) = ( 1 ± 3 i 2 , 1 ∓ 3 i 2 ) i ( w , z ) = ( 1 ± 7 i 2 , 1 ∓ 7 i 2 ) . (w,z)=\left(\frac{1\pm\sqrt3i}2,\frac{1\mp\sqrt3i}2\right)\quad\text{i}\quad(w,z)=\left(\frac{1\pm\sqrt7i}2,\frac{1\mp\sqrt7i}2\right). ( w , z ) = ( 2 1 ± 3 i , 2 1 ∓ 3 i ) i ( w , z ) = ( 2 1 ± 7 i , 2 1 ∓ 7 i ) . 