1. Zadatak

Prema uvjetu zadatka je

$$a^2+2b=m^2,\qquad(1)$$

za neki $m\in\mathbb Z$. Odatle je $b=\dfrac{m^2-a^2}2$ pa imamo

$$a^2+b=a^2+\frac{m^2-a^2}2=\frac{m^2+a^2}2.$$

No, vrijedi

$$\frac{m^2+a^2}2=\frac{(m+a)^2+(m-a)^2}4=\left(\frac{m+a}2\right)^2+\left(\frac{m-a}2\right)^2.$$

Još treba provjeriti da su brojevi $\dfrac{m+a}2$ i $\dfrac{m-a}2$ cijeli. Zaista, iz relacije (1) slijedi da su brojevi $m$ i $a$ iste parnosti. Zbog toga su $m+a$ i $m-a$ parni brojevi, pa su $\dfrac{m+a}2$ i $\dfrac{m-a}2$ cijeli brojevi.