5. Zadatak

Neka se u tablici $m\times n$ u konačno mnogo koraka mogu promijeniti slova u svim poljima na traženi način. Označimo broj polja u kojima se u početku nalazilo slovo $A$ s $a$, a broj polja u kojima je u početku bilo upisano slovo $B$ s $b$. Kako se u $i$-tom polju u kojem je na početku bilo slovo $A$ na kraju nalazi slovo $B$, na njemu je provedeno $3s_i+1$ opisanih operacija (za neko $s_i\in\mathbb N_0$). Slično, na $i$-tom polju u kojem je u početku bilo slovo $B$ provedeno je $3t_i+2$ takvih operacija (za neko $t_i\in\mathbb N_0$). Budući da se u svakom paru susjednih polja nalazi jedno polje na kojem je na početku pisalo $A$ i jedno na kojem je pisalo $B$, vrijedi jednakost $\displaystyle\sum_{i=1}^a(3s_i+1)=\sum_{i=1}^b(3t_i+2)$. Odatle je $\displaystyle a-2b=3\sum_{i=1}^bt_i-3\sum_{i=1}^as_i$, pa vrijedi $3\mid(a-2b)$, tj. $3\mid(a+b)$ odnosno $3\mid mn$, te zaključujemo da barem jedan od brojeva $m$ i $n$ mora biti djeljiv s 3. S druge strane, ako je neki od $m$ i $n$ djeljiv s 3, tablica $m\times n$ se može podijeliti na dijelove $1\times3$ (ili $3\times1$). U njima se mogu provesti tražene operacije, npr. ovako:

Stoga se opisana zamjena slova može provesti i u tablici $m\times n$ koja je sastavljena od dijelova dimenzija $1\times3$. Dakle, nužan i dovoljan uvjet da se ispuni zahtjev iz zadatka u tablici $m\times n$ jest da je barem jedan od brojeva $m$ i $n$ djeljiv s 3.