4. Zadatak

Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$.

Neka je $\angle ACB=90^\circ$. Tada je $M$ središte kružnice opisane trokutu $ABC$, pa vrijedi $|BM|=|CM|=|AM|$. Zato je trokut $BCM$ jednakokračan.

Budući da su pravci $TE$ i $BC$ paralelni, trokut $ETM$ je također jednakokračan. Slijedi $|ME|=|MT|$. Prema S–K–S poučku zaključujemo da su trokuti $CME$ i $BMT$ sukladni.

Sada slijedi $\angle AEC=\angle MEC=\angle MTB=\angle PTC$.

Obratno, ako je $\angle AEC=\angle PTC$, onda je $\angle BEC=\angle BTC$, tj. četverokut $BETC$ je tetivan.

Četverokut $BETC$ je tetivni trapez, pa je jednakokračan, tj. vrijedi $\angle EBC=\angle BCT$.

Iz toga slijedi da je trokut $BCM$ jednakokračan.

Dakle, $|AM|=|BM|=|CM|$, pa je $\overline{AB}$ promjer kružnice opisane trokutu $ABC$, što povlači da je kut $\angle ACB$ pravi.

Napomena: Dokaz da $\angle AEC=\angle PTC$ povlači $\angle ACB=90^\circ$ se sastoji od ekvivalencija, pa se isti argumenti mogu koristiti umjesto prvog dijela dokaza.