1. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz druge jednadžbe imamo $y=7-xz$.

Uvrštavanjem u treću jednadžbu dobivamo $x=yz-1=(7-xz)z-1=7z-xz^2-1$, odnosno $x(1+z^2)=7z-1$.

Kako za realni $z$ vrijednost $1+z^2$ nikad nije nula, sređivanjem i uvrštavanjem imamo

$$x=\frac{7z-1}{1+z^2}, \qquad y=7-xz=\frac{z+7}{1+z^2}.$$

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo

$$\begin{aligned} 5=x^2+y^2 &=\left(\frac{7z-1}{1+z^2}\right)^2 +\left(\frac{z+7}{1+z^2}\right)^2\\ &=\frac{1}{(1+z^2)^2}(49z^2-14z+1+z^2+14z+49)\\ &=\frac{50(z^2+1)}{(1+z^2)^2}=\frac{50}{1+z^2}. \end{aligned}$$

Slijedi $1+z^2=10$, odnosno $z^2=9$, tj. $z=\pm3$.

Sada $x$ i $y$ možemo izračunati iz prvih jednadžbi gdje smo izrazili te varijable preko $z$.

Za $z=3$ slijedi $x=\frac{20}{10}=2$, $y=\frac{10}{10}=1$.

Za $z=-3$ slijedi $x=-\frac{22}{10}=-\frac{11}{5}$, $y=\frac4{10}=\frac25$.

Druga i treća jednadžba su zadovoljene jer smo $x$ i $y$ dobili kao rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi, a prva jednadžba je zadovoljena jer smo tako odredili $z$. Prema tome, rješenja su $(2,1,3)$ i $\left(-\frac{11}{5},\frac25,-3\right)$.

Drugo rješenje.

Iz drugih dviju jednadžbi vidimo jednakosti

$$zx=7-y\qquad\text{i}\qquad yz=1+x.$$

Pomnožimo prvu s $y$, drugu s $x$ i oduzmimo ih. Dobivamo $x+x^2=7y-y^2$, odnosno $x^2+y^2=7y-x$.

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo $7y-x=5$, odnosno $x=7y-5$.

Uvrštavanjem opet u prvu jednadžbu dobivamo $(7y-5)^2+y^2=5$, odnosno vrijedi $50y^2-70y+20=0$.

Rješenja te kvadratne jednadžbe su $y_1=1$ i $y_2=\frac25$.

Za $y=1$ iz $7y-x=5$ imamo $x=2$, te potom iz druge ili treće jednadžbe slijedi $z=3$.

Za $y=\frac25$ iz $7y-x=5$ imamo $x=-\frac{11}{5}$, te potom slijedi $z=-3$.

Direktnom provjerom vidimo da su trojke $(2,1,3)$ i $\left(-\frac{11}{5},\frac25,-3\right)$ zaista rješenja.

Treće rješenje.

Uočimo da za proizvoljne realne brojeve $x$, $y$ i $z$ vrijedi

$$(x^2+y^2)(z^2+1)=(xz+y)^2+(x-yz)^2.$$

Uvrštavajući vrijednosti iz zadatka u zagrade, dobivamo $5(z^2+1)=50$, odnosno $z^2+1=10$, odakle je $z=\pm3$.

Rješavajući dva linearna sustava s dvije nepoznanice $x$ i $y$, dobivamo rješenja $(2,1,3)$ i $\left(-\frac{11}{5},\frac25,-3\right)$. Prva jednadžba je zadovoljena zbog identiteta s početka rješenja.