3. Zadatak

Uočimo da $x=14$ i $x=-14$ nisu rješenja jednadžbe.

Označimo $a=\sqrt[3]{14-x}$, $b=\sqrt[3]{14+x}$. Tada je $ab=\sqrt[3]{196-x^2}$ te početnu jednadžbu možemo zapisati kao $3a^2-2b^2=-5ab$.

Kada bi $b$ bio jednak nuli, tada bi $x$ bio jednak $-14$, za što smo se uvjerili da nije rješenje jednadžbe. Dakle, $b\neq0$.

Dijeljenjem s $b^2$ imamo

$$3\cdot\frac{a^2}{b^2}-2=-5\cdot\frac ab.$$

Uvrštavanjem $t=\frac ab$ i sređivanjem slijedi $3t^2+5t-2=0$.

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su $t_1=\frac13$, $t_2=-2$.

Za

$$\frac{\sqrt[3]{14-x}}{\sqrt[3]{14+x}}=\frac13$$

slijedi $\frac{14-x}{14+x}=\frac1{27}$, odnosno $x_1=13$.

Slično, za

$$\frac{\sqrt[3]{14-x}}{\sqrt[3]{14+x}}=-2$$

dobivamo drugo rješenje $x_2=-18$.

Napomena: Umjesto dijeljenja s $b^2$ i uvođenja supstitucije $t$, jednadžbu $3a^2-2b^2+5ab=0$ se može zapisati kao $(3a-b)(a+2b)=0$. Nakon toga slučaj $3a=b$ daje rješenje $x=13$, a slučaj $a=-2b$ rješenje $x=-18$.