2. Zadatak

Prvo rješenje.

Promatramo graf funkcije $f(x)=||x-2|-x+a|-x-3$ tj. krivulju $y=||x-2|-x+a|-x-3$ i gledamo u koliko točaka može sijeći $x$-os.

Za $x\geq2$ ta krivulja ima jednadžbu $y=|a-2|-3-x$, što je pravac s nagibom $-1$, a u točki $x=2$ ima vrijednost $y=|a-2|-5$.

Za $x<2$ ta krivulja ima jednadžbu $y=|2+a-2x|-3-x$, što je izlomljena linija ili pravac. Graf se općenito sastoji od dvaju polupravaca koji leže na pravcima $y=a-1-3x$ i $y=x-5-a$. Oni se sijeku u točki $x=1+\frac a2$. Šiljak je u području $x<2$ za $a<2$.

Ako je $a\geq2$, u području $x<2$ imamo $2+a-2x\geq0$, pa je graf samo pravac $y=a-1-3x$. Funkcija tada stalno pada i ima samo jednu nultočku.

Za $a<2$ imamo tri dijela s nagibima $-3$, $1$, $-1$ i prijelomima u $x=1+\frac a2$ i $x=2$, u kojima su redom vrijednosti $y=-4-\frac a2$ i $y=-a-3$. Imamo točno dvije nultočke ako je jedna od te dvije vrijednosti jednaka $0$, tj. ako je $a=-8$ ili $a=-3$.

Drugo rješenje.

Prvo tražimo rješenja za koja je $x\geq2$. Tada jednadžba postaje

$$|a-2|=x+3,$$

pa je $x=|a-2|-3$. To je rješenje ako je $|a-2|\geq5$, odnosno $a\in\langle-\infty,-3]\cup[7,+\infty\rangle$.

Za $x<2$ jednadžba postaje $|a+2-2x|=x+3$.

Ako je $a+2-2x\geq0$, dobivamo $x=\frac{a-1}{3}$. Uvjeti $x<2$ i $a+2-2x\geq0$ daju $-8\leq a<7$.

Ako je $a+2-2x<0$, dobivamo $x=a+5$. Uvjeti daju $-8<a<-3$.

Konačno:

• kada je $a\in\langle-\infty,-8\rangle$, jednadžba ima jedno rješenje;
• kada je $a=-8$, jednadžba ima dva rješenja, $7$ i $-3$;
• kada je $a\in\langle-8,-3\rangle$, jednadžba ima tri rješenja;
• kada je $a=-3$, jednadžba ima dva rješenja, $2$ i $-\frac43$;
• kada je $a\in\langle-3,7\rangle$, jednadžba ima jedno rješenje;
• kada je $a\in[7,+\infty\rangle$, jednadžba ima jedno rješenje.

Dakle, jednadžba ima točno dva rješenja kada je $a=-8$ i $a=-3$.