3. Zadatak

U jednakokračnom trokutu kutovi uz osnovicu su jednaki. Označimo mjeru kuta $\angle CAB$ s $\alpha$, a mjeru kutova $\angle ABC$ i $\angle BCA$ s $\beta$. Tada je $2\beta+\alpha=180^\circ$, odakle je $\beta=71^\circ$.

Uvedimo oznake $b=|AB|=|CA|$, $a=|BC|$, $c=|CE|$.

Trokuti $ABC$ i $CBD$ su slični jednakokračni trokuti koji dijele osnovicu, pa su zapravo sukladni. Također, trokuti $ABC$ i $BAF$ su slični jednakokračni trokuti koji dijele jedan krak, pa su također sukladni.

Zato zaključujemo

$$|BD|=|DC|=|AB|=b\qquad\text{i}\qquad|BF|=|BC|=a.$$

Iz sličnosti trokuta $ABC$ i $EAC$ dobivamo

$$\frac{|CE|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|BC|}\Rightarrow\frac cb=\frac ba\Rightarrow c=\frac{b^2}{a}.$$

Promotrimo trokute $CDE$ i $BFD$. Vrijedi

$$\angle ECD=360^\circ-\angle ACE-\angle BCA-\angle DCB=360^\circ-3\beta,$$

i analogno

$$\angle DBF=360^\circ-3\beta=\angle ECD.$$

Nadalje,

$$\frac{|CE|}{|CD|}=\frac cb=\frac{b/a}{1}=\frac{|BD|}{|BF|},$$

pa su prema S-K-S poučku o sličnosti trokuti $CDE$ i $BFD$ slični te je $\angle CDE=\angle BFD$.

Posebno, vrijedi

$$\angle FDB+\angle CDE=\angle FDB+\angle BFD=180^\circ-\angle DBF=3\beta-180^\circ.$$

Naposljetku,

$$\angle EDF=\angle FDB+\angle BDC+\angle CDE=\alpha+3\beta-180^\circ=\beta=71^\circ.$$