4. Zadatak

Svi izrazi na obje strane početne jednakosti osim $m$ djeljivi su s $3$, pa je zato i on djeljiv s $3$. Zato postoji prirodan broj $n$ takav da je $m=3n$.

Izrazimo sada početnu jednakost pomoću $n$ i $k$:

$$(3n)^3-n+7=3^{3k}-2\cdot3^{2k+1}+3^{k+2}+3^{k+1}.$$

Uvedimo supstituciju $a=3^k$. Tada izraz na desnoj strani posljednje jednakosti možemo pisati na sljedeći način:

$$\begin{aligned} 3^{3k}-2\cdot3^{2k+1}+3^{k+2}+3^{k+1} &=a^3-6a^2+9a+3a\\ &=a^3-3\cdot2a^2+3\cdot4a-8+8\\ &=(a-2)^3+8. \end{aligned}$$

Dakle, jednadžbu možemo pisati kao

$$(3n)^3-n-1=(a-2)^3.$$

U slučaju kada je $n=0$, jednadžba postaje $(a-2)^3=-1$, čije je jedino rješenje $a=1$, odakle je $k=0$. Time smo dobili jedno rješenje: $(k,m)=(0,0)$.

Nadalje, pretpostavimo da je $n\geq1$. Izraz $(3n)^3-n-1$ mora biti jednak potpunom kubu, a očito je manji od $(3n)^3$. Zato vrijedi

$$(3n)^3-n-1\leq(3n-1)^3,$$

budući da između dva kuba uzastopnih prirodnih brojeva $(3n-1)^3$ i $(3n)^3$ ne postoji niti jedan drugi potpun kub prirodnog broja. Iz dobivene nejednakosti slijedi

$$\begin{aligned} (3n)^3-n-1&\leq(3n)^3-27n^2+9n-1,\\ 27n^2-10n&\leq0,\\ 27n-10&\leq0, \end{aligned}$$

što nije zadovoljeno ni za koji prirodan broj $n$. Time zaključujemo da jednadžba nema niti jedno drugo rješenje.

Jedino rješenje je $(k,m)=(0,0)$.