6. Zadatak

Označimo s $a$ duljinu stranice trokuta i s $b$ duljinu stranice kvadrata.

Prema uvjetima zadatka vrijedi $3a+4b=1$, odnosno $b=\dfrac{1-3a}{4}$.

Ukupna površina je $P=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}+b^2$, odnosno

$$\begin{aligned} P&=\frac{a^2\sqrt3}{4}+\left(\frac{1-3a}{4}\right)^2 =\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{1-6a+9a^2}{16}\\ &=\frac1{16}\left((4\sqrt3+9)a^2-6a+1\right). \end{aligned}$$

Izraz u zagradi je kvadratna funkcija varijable $a$, i ima najmanju vrijednost za

$$a=\frac6{2(4\sqrt3+9)}=\frac{9-4\sqrt3}{11}.$$

Tada je $b=\dfrac{1-3\cdot\frac{9-4\sqrt3}{11}}4=\dfrac{3\sqrt3-4}{11}$.