7. Zadatak

Nakon kubiranja binoma i sređivanja izraza dobivamo

$$a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3-107)i=c.$$

Kako su $a$, $b$ i $c$ realni, izjednačavanjem realnih i imaginarnih dijelova dobivamo

$$a^3-3ab^2=c,\quad 3a^2b-b^3-107=0.$$

Iz druge jednakosti dobivamo $(3a^2-b^2)b=107$. Kako je 107 prost broj, a $a$ i $b$ prirodni, zaključujemo

$$3a^2-b^2=107,\quad b=1$$

ili

$$3a^2-b^2=1,\quad b=107.$$

U prvom slučaju je $3a^2=108$, $a=6$, a u drugom slučaju $3a^2=11450$, pa $a\notin\mathbb N$. Sada iz jednakosti realnih dijelova polazne jednadžbe slijedi $c=a^3-3ab^2=6^3-3\cdot6\cdot1^2=198$.