5. Zadatak
Ivica je od jediničnih kockica sastavio veliku kocku brida duljine i zatim je neke od šest strana velike kocke obojao, a neke nije. Kada je rastavio veliku kocku, otkrio je da točno 1000 jediničnih kockica nema niti jednu obojanu stranu. Pokaži da je to zaista moguće i odredi broj strana velike kocke koje je Ivica obojao.
Rješenje
Nakon bojanja nekih strana kocke sastavljene od kockica, broj neobojenih kockica je sigurno manji od i veći od .
Dakle, , pa mora biti , tj. .
Prebrojimo sada neobojene kockice u svim slučajevima, ovisno o broju obojenih strana velike kocke.
Ako je obojena 1 strana velike kocke, broj neobojenih kockica je .
Ako su obojene 2 strane velike kocke, neobojenih kockica ima (u slučaju da su obojene strane susjedne) ili (u slučaju da obojene strane nisu susjedne).
Ako su obojene 3 strane velike kocke, neobojenih kockica može biti (ako sve tri obojene strane imaju zajednički vrh) ili (ako te tri obojene strane nemaju zajednički vrh).
Ako su obojene 4 strane velike kocke, neobojenih kockica je (ako su dvije neobojene strane susjedne) ili (ako dvije neobojene strane nisu susjedne).
Ako je obojano 5 strane velike kocke, neobojenih kockica je .
Vidimo da je jedino u slučaju kad su obojene tri strane velike kocke moguće postići da broj neobojenih jediničnih kockica bude 1000, pa zaključujemo da je Ivica obojao tri strane velike kocke.
Napomena: Nije nužno izračunati točan broj obojanih kockica u svakom slučaju, već eliminirati pojedine slučajeve.