1. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je $a<0$ iz druge jednakosti zaključujemo da mora biti $|z+1|=|az-1|=0$, a to znači $z=-1$ i $a=-1$. Kako je i prva jednakost tada ispunjena, $a=-1$ je jedan od traženih brojeva.

Za $a=0$ druga jednakost nema rješenja.

Ako je $a>0$, onda iz druge jednakosti slijedi

$$|az-1|=|az+a|. \tag{*}$$

Kako je $|w|^2=w\overline{w}$ za $w\in\mathbb{C}$, jednakost $(*)$ je ekvivalentna s

$$(az-1)(a\overline{z}-1)=(az+a)(a\overline{z}+a),$$ $$a^2z\overline{z}-az-a\overline{z}+1=a^2z\overline{z}+a^2z+a^2\overline{z}+a^2,$$ $$(a^2+a)(z+\overline{z})=1-a^2.$$

Odavde dobijemo

$$z+\overline{z}=\frac{1-a^2}{a(a+1)},$$

jer je $a\ne0$, $a\ne-1$.

Kako je $z+\overline{z}=2\operatorname{Re}z$, zaključujemo da je

$$\operatorname{Re}z=\frac{1-a^2}{2a(a+1)}=\frac{1-a}{2a}.$$

Da bi postojao takav kompleksan broj $z$, za koji uz to vrijedi $|z|=1$, nužno je i dovoljno da vrijedi $-1\leq\operatorname{Re}z\leq1$, tj.

$$-1\leq\frac{1-a}{2a}\leq1.$$

Odavde, zbog $a>0$, dobivamo $a\geq\frac13$.

Konačno, traženi brojevi su svi $a\in\{-1\}\cup[\frac13,\infty)$.

Drugo rješenje.

Ako je $a<0$ iz druge jednakosti zaključujemo da mora biti $|z+1|=|az-1|=0$, a to znači $z=-1$ i $a=-1$. Kako je i prva jednakost tada ispunjena, $a=-1$ je jedan od traženih brojeva.

Za $a=0$ druga jednakost nema rješenja, pa pretpostavimo da je $a>0$.

Neka je $z=x+yi$ pri čemu su $x,y\in\mathbb{R}$. Tada je druga jednakost ekvivalentna s

$$(ax-1)^2+a^2y^2=a^2(x+1)^2+a^2y^2.$$

Sređivanjem dobivamo

$$2ax+2a^2x=1-a^2,$$

odnosno $2ax(1+a)=(1-a)(1+a)$.

Kako je $a$ nenegativan, pa posebno i različit od $-1$, jednakost možemo podijeliti s $a+1$ i dobivamo

$$x=\frac{1-a}{2a}.$$

Kompleksan broj $z=x+iy$ koji zadovoljava uvjet $|z|=1$ postoji ako i samo ako $1\geq x^2$, tj. samo ako je

$$1\geq\frac{(1-a)^2}{4a^2}.$$

Ova je nejednadžba ekvivalentna s $3a^2+2a-1\geq0$, tj. $(3a-1)(a+1)\geq0$.

Zbog prethodnih opaski zaključujemo da su traženi brojevi svi $a\in\{-1\}\cup[\frac13,\infty)$.