4. Zadatak

Neka je $|AB|=a$, $|AD|=b$.

Zbog sličnosti pravokutnih trokuta $EAB$ i $ABC$ (sukladni kutovi s okomitim kracima) vrijedi

$$|EA|:|AB|=|AB|:|BC|$$

pa je

$$|EA|=\frac{a^2}{b}.$$

Kako je $|AF|=a$, iz pravokutnog trokuta $ADF$ prema Pitagorinom teoremu dobivamo

$$|DF|^2=a^2-b^2.$$

Sada iz pravokutnog trokuta $EDF$ slijedi

$$\begin{aligned} |EF|^2&=|ED|^2+|DF|^2\\ &=\left(\frac{a^2}{b}-b\right)^2+(a^2-b^2)\\ &=\frac{(a^2-b^2)^2}{b^2}+a^2-b^2\\ &=\frac{a^4}{b^2}-2a^2+b^2+a^2-b^2\\ &=\frac{a^4}{b^2}-a^2. \end{aligned}$$

Konačno, vrijedi

$$|EF|^2+|AF|^2=\left(\frac{a^4}{b^2}-a^2\right)+a^2=\frac{a^4}{b^2}=|AE|^2,$$

što znači da je trokut $AEF$ pravokutan i $AF\perp EF$.