3. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da je dana jednadžba ekvivalentna sustavu

$$\begin{cases} x+y=1,\\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=24. \end{cases}$$

Iz prve jednadžbe kvadriranjem dobivamo $x^2+y^2=1-2xy$, a iz druge jednadžbe slijedi $x^2+y^2=24x^2y^2$.

Stoga je $24(xy)^2+2(xy)-1=0$, a rješavanjem te kvadratne jednadžbe po $xy$ dobivamo

$$xy=\frac{-2\pm\sqrt{4+4\cdot24}}{2\cdot24}=\frac{-2\pm10}{48},$$

tj. $xy=-\frac14$ ili $xy=\frac16$.

Ako je $xy=-\frac14$, zbog $x+y=1$ zaključujemo da su $x$ i $y$ rješenja jednadžbe $x^2-x-\frac14=0$, dakle

$$x_1=\frac{1+\sqrt2}{2},\qquad x_2=\frac{1-\sqrt2}{2}.$$

Analogno, ako je $xy=\frac16$, onda su $x$ i $y$ rješenja jednadžbe $x^2-x+\frac16=0$, dakle

$$x_3=\frac{3+\sqrt3}{6},\qquad x_4=\frac{3-\sqrt3}{6}.$$

Svaki od tih brojeva je rješenje dane jednadžbe.

Drugo rješenje.

Uočimo da vrijedi

$$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(1-x)^2}=\left(\frac1x+\frac1{1-x}\right)^2-\frac{2}{x(1-x)}=\left(\frac1{x(1-x)}\right)^2-\frac{2}{x(1-x)}.$$

Stoga danu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$\left(\frac1{x(1-x)}\right)^2-\frac{2}{x(1-x)}=24,$$

odnosno, uz supstituciju $t=\frac1{x(1-x)}$, kao kvadratnu jednadžbu $t^2-2t-24=0$.

Rješenja te jednadžbe su $t=-4$ i $t=6$, pa preostaje riješiti jednadžbe

$$x(1-x)=-\frac14\qquad\text{i}\qquad x(1-x)=\frac16.$$

Rješenja su $x_1=\frac{1+\sqrt2}{2}$, $x_2=\frac{1-\sqrt2}{2}$ odnosno $x_3=\frac{3+\sqrt3}{6}$, $x_4=\frac{3-\sqrt3}{6}$.