1. Zadatak

Neka je $r$ polumjer osnovke stošca, te neka je plašt stošca kružni isječak određen radijusom $1$ i kutom $\alpha$.

Budući da se opseg osnovke podudara kružnim lukom nad kutom $\alpha$, slijedi

$$2r\pi=\pi\frac{\alpha}{180^\circ}.$$

Površina osnovke je $B=r^2\pi$, a površina plašta je

$$P=\pi\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}=r\pi.$$

Tražena razlika površina je $P-B=\pi(r-r^2)$, što je kvadratna funkcija po $r$. Ona poprima maksimum u apscisi tjemena, tj. za $r=\frac12$. U tom slučaju kut kružnog isječka iznosi $\alpha=180^\circ$.

Dakle, traženi polumjer osnovke za koje je razlika površine plašta i osnovke maksimalna je $\frac12$.