5. Zadatak

Označimo s $x_1,x_2,\ldots,x_{100}$ sve elemente tog skupa.

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je najveći zajednički djelitelj svih elemenata skupa jednak $1$ jer u suprotnom možemo sve elemente podijeliti s tim djeliteljem.

Odaberimo bilo koja dva indeksa $i$ i $j$ takva da je $4\leq i<j\leq100$. Iz uvjeta zadatka slijedi

$$x_1\mid x_1x_2x_3x_i\mid x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_i^4$$

i

$$x_1\mid x_1x_2x_3x_j\mid x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_j^4.$$

Prema tome $x_1$ dijeli i njihovu razliku, tj. $x_1\mid x_i^4-x_j^4$.

Slično možemo napraviti i za manje indekse $i$ i $j$, zaključiti da za sve indekse $2\leq i<j\leq100$ vrijedi $x_1\mid x_i^4-x_j^4$, odnosno svi brojevi $x_2^4,x_3^4,\ldots,x_{100}^4$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $x_1$.

Iz $x_1\mid x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4$ i korištenjem gornjeg zaključka za sve $i\in\{1,\ldots,100\}$ dobivamo $x_1\mid x_1^4+3x_i^4$, odnosno $x_1\mid3x_i^4$. Zato zaključujemo da $x_1$ dijeli i najveći zajednički djelitelj svih brojeva oblika $3x_i^4$, tj.

$$x_1\mid D(3x_1^4,3x_2^4,\ldots,3x_{100}^4).$$

Kako su elementi skupa relativno prosti, zaključujemo da je $D(3x_1^4,3x_2^4,\ldots,3x_{100}^4)=3$, pa je zato $x_1\in\{1,3\}$.

Analognim možemo zaključiti da je $x_i\in\{1,3\}$ za sve indekse $i$ što dovodi do kontradikcije jer početni skup mora sadržavati $100$ međusobno različitih elemenata. Dakle, traženi skup ne postoji.