4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ mjere kutove trokuta $ABC$ u vrhovima $A$, $B$ i $C$ redom.

Kut $\angle LIB$ vanjski je u trokutu $IBC$, pa vrijedi

$$\angle LIB=\angle IBC+\angle BCI=\frac\beta2+\frac\gamma2.$$

Iz obodnih kutova nad tetivom $AL$ kružnice opisane trokutu $ABC$ dobivamo da je $\angle ABL=\angle ACL=\frac\gamma2$. Za kut $\angle IBL$ vrijedi

$$\angle IBL=\angle IBA+\angle ABL=\frac\beta2+\frac\gamma2=\angle LIB,$$

pa zaključujemo da je trokut $LBI$ jednakokračan, pa je $|LB|=|LI|$. Također, iz tog trokuta imamo $\angle ILB=\alpha$.

Točka $S$ središte je opisane kružnice trokutu $IKB$, pa i za nju vrijedi $|SB|=|SI|$. Kako su točke $S$ i $L$ obje jednako udaljene od točaka $I$ i $B$, zaključujemo da je pravac $LS$ simetrala dužine $BI$.

Kako je trokut $LBI$ jednakokračan, pravac $LS$ ujedno je i simetrala kuta $\angle ILB$. Zato je

$$\angle SLI=\frac12\angle ILB=\frac\alpha2.$$

Iz jednakokračnog trokuta $KBS$ imamo $\angle BKS=\angle SBK=\frac\alpha2$, pa konačno imamo

$$\angle PLK=\angle SLI=\frac\alpha2=\angle BKS=\angle PKS,$$

pa prema obratu teorema o kutu između tetive i tangente slijedi da je $SK$ tangenta na opisanu kružnicu trokutu $KLP$.

Drugo rješenje.

Označimo ponovno s $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ mjere kutove trokuta $ABC$.

U jednakokračnom trokutu $KSB$ vrijedi $\angle BKS=\angle SBK=\frac\alpha2$ i $\angle KSB=\beta+\gamma$.

Koristeći obodne kutove nad tetivom $BC$ u kružnici opisanoj trokutu $ABC$ možemo izračunati

$$\angle BLK=\angle BLC=\angle BAC=\alpha.$$

Uočimo da je $\angle BLK+\angle KSB=\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$, pa je zato četverokut $LBSK$ tetivan.

Koristeći novodobivenu tetivnost (obodne kutove nad tetivom $SK$) i činjenicu da je trokut $KSB$ jednakokračan, dobivamo

$$\angle PLK=\angle SLK=\angle SBK=\angle BKS=\angle PKS,$$

pa prema obratu teorema o kutu između tetive i tangente slijedi da je $SK$ tangenta na opisanu kružnicu trokutu $KLP$.