5. Zadatak

Prvo rješenje.

Jednadžba dane kružnice jest

$$x^2+(y-2)^2=1,$$

pa je to kružnica polumjera $1$ sa središtem u točki $(0,2)$.

Neka je $S$ središte proizvoljne kružnice $k'$ koja zadovoljava uvjete zadatka. Os $x$ je tangenta kružnice $k'$, a kružnica $k$ dira kružnicu $k'$ izvana. To znači da je točka $S$ jednako udaljena od kružnice $k$ i od osi $x$.

To zapravo znači da je točka $S$ jednako udaljena od pravca $y=-1$ i od središta kružnice $k$, točke $(0,2)$.

Traženo geometrijsko mjesto je parabola kojoj je žarište točka $(0,2)$, a ravnalica pravac $y=-1$.

Drugo rješenje.

Jednadžba dane kružnice ponovno je

$$x^2+(y-2)^2=1.$$

Neka je $(p,q)$ središte proizvoljne kružnice $k'$ koja zadovoljava uvjete zadatka. Kako $k'$ dira os apscisa i izvana kružnicu $k$, zaključujemo da je $q>0$. Uvjet tangencijalnosti osi apscisa na kružnicu $k'$ ekvivalentan je uvjetu da je $q$ polumjer kružnice $k'$.

Kružnice $k$ i $k'$ diraju se, što znači da je udaljenost njihovih središta jednaka zbroju njihovih polumjera:

$$\sqrt{(p-0)^2+(q-2)^2}=1+q.$$

Kvadriranjem dobivamo

$$p^2+q^2-4q+4=1+2q+q^2.$$

Konačno,

$$q=\frac16p^2+\frac12.$$

Traženo je geometrijsko mjesto parabola s jednadžbom

$$\boxed{y=\frac16x^2+\frac12}.$$