1. Zadatak

Neka je

$$S=(1!)^2+(2!)^2+\cdots+(2018!)^2.$$

Traže se zadnje dvije znamenke broja $S$, odnosno ostatak pri dijeljenju broja $S$ sa $100$.

Primijetimo da $120=5!$ dijeli $n!$ za svaki prirodni broj $n\ge5$. Zato $(n!)^2$ daje ostatak $0$ pri dijeljenju sa $100$ za svaki $n\ge5$.

Dakle, $S$ pri dijeljenju sa $100$ daje isti ostatak kao

$$(1!)^2+(2!)^2+(3!)^2+(4!)^2.$$

Budući da je

$$(1!)^2+(2!)^2+(3!)^2+(4!)^2=1+4+36+576=617,$$

zadnje dvije znamenke su

$$\boxed{17}.$$