6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $d\in\mathbb N$ razlika danog niza. Racionalizacijom dobivamo

$$\frac1{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}} =\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{a_{k+1}-a_k} =\frac1d\left(\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}\right).$$

Zato je zadani zbroj teleskopski:

$$\begin{aligned} &\frac1{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac1{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\cdots+ \frac1{\sqrt{a_{40}}+\sqrt{a_{41}}}\\ &=\frac1d\left(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}+\cdots+ \sqrt{a_{41}}-\sqrt{a_{40}}\right)\\ &=\frac1d\left(\sqrt{a_{41}}-\sqrt{a_1}\right). \end{aligned}$$

Znamo da je $a_1=1$ i $a_{41}=1+40d$, pa moramo odrediti prirodne brojeve $d$ za koje je

$$n=\frac{\sqrt{40d+1}-1}{d}$$

prirodan broj.

Broj $\sqrt{40d+1}$ prirodan je ako i samo ako postoji prirodan broj $k$ takav da je

$$40d+1=k^2.$$

Tada je

$$d=\frac{k^2-1}{40},\qquad n=\frac{k-1}{d}=\frac{40}{k+1}.$$

Prema tome, $k+1\mid40$ i $40\mid k^2-1$. Iz prvog uvjeta slijedi

$$k\in\{1,3,4,7,9,19,39\},$$

a iz drugog

$$k\in\{9,19,39\}.$$

Konačno, sva su rješenja

$$\boxed{d=2,\qquad d=9,\qquad d=38}.$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju označimo s $d\in\mathbb N$ razliku niza. Potrebno je odrediti prirodne brojeve $d$ za koje je

$$n=\frac{\sqrt{40d+1}-1}{d}$$

prirodan broj. Kvadriranjem izraza

$$nd+1=\sqrt{40d+1}$$

dobivamo

$$n^2d^2+2nd+1=40d+1,$$

odnosno

$$d=\frac{40-2n}{n^2}.$$

Budući da su $n$ i $d$ prirodni brojevi, mora biti $n^2\le40-2n$, odnosno

$$n^2+2n+1\le41.$$

Kako je $n^2+2n+1=(n+1)^2$, slijedi $n+1\le6$, odnosno $n\le5$. Izravnim uvrštavanjem $n=1,2,3,4,5$ dobivamo cjelobrojna rješenja

$$d=38,\qquad d=9,\qquad d=2.$$