3. Zadatak

Prvo rješenje.

Potencije broja $2$ su brojevi $2,4,8,16,32,\ldots$. Promotrimo li ostatke pri dijeljenju s $10$, vidimo da se periodično ponavljaju brojevi

$$2,4,8,6.$$

Broj $2^{n+2}$ djeljiv je s $4$, iz čega zaključujemo da broj $2^{2^{n+2}}$ daje ostatak $6$ pri dijeljenju s $10$ za svaki prirodni broj $n$. Konačno, broj $2^{2^{n+2}}+4$ daje ostatak $0$, jer je $6+4=10$, pa je djeljiv s $10$.

Drugo rješenje.

Moramo dokazati da za svaki prirodni broj $n$ broj $2^{2^{n+2}}$ daje ostatak $6$ pri dijeljenju s $10$, odnosno da je oblika $10k+6$ za neki prirodni broj $k$.

Dokaz provodimo matematičkom indukcijom po $n$. Tvrdnja je očita za $n=1$, jer je

$$2^{2^{1+2}}=2^8=256.$$

Pretpostavimo da za neki prirodni broj $n$ postoji prirodni broj $k$ takav da je

$$2^{2^{n+2}}=10k+6.$$

Primijetimo da je

$$2^{2^{(n+1)+2}}=2^{2\cdot2^{n+2}}=\left(2^{2^{n+2}}\right)^2.$$

Zato je

$$\left(2^{2^{n+2}}\right)^2=(10k+6)^2=100k^2+120k+36,$$

pa i taj broj daje ostatak $6$ pri dijeljenju s $10$. Prema principu matematičke indukcije tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $n$, pa je i zadani broj višekratnik broja $10$.