7. Zadatak

Označimo ukupan broj ekipa s $n$. Neka je $a$ broj ekipa koje su osvojile $24$ boda, a $b$ broj ekipa koje su osvojile $22$ boda. Tada je ukupan broj ekipa

$$n=3+a+b,$$

a ukupan broj bodova u svim utakmicama je

$$2n(n-1)=26+24a+22b+40.$$

Uvrstimo li $b=n-3-a$ iz prve jednakosti u drugu, dobivamo

$$26+24a+22n-66-22a+40=2n(n-1),$$

tj. $a=n(n-12)$.

Budući da je $a$ nenegativan broj, slijedi $n\ge12$.

Uvrstimo li $a=n(n-12)$ u $n=3+a+b$, možemo napisati

$$b=(13-n)n-3,$$

iz čega zbog nenegativnosti od $b$ slijedi da je $n<13$.

Dakle, $n=12$, $a=0$ i $b=9$.

Ovime smo dokazali da ako takav turnir postoji, onda je broj ekipa nužno $12$. Potrebno je još pokazati da zaista postoji takav turnir sa $12$ ekipa. To ćemo učiniti tako da eksplicitno napišemo ishode svih utakmica jednog takvog turnira.

Označimo pobjednika turnira s $A$, zadnje dvije ekipe s $X$ i $Y$, a ostalih devet ekipa s $B_1,B_2,\ldots,B_9$.

Neka je ekipa $A$ pobijedila ekipe $X$ i $Y$ dva puta i jednom svaku ekipu $B_i$, $i=1,\ldots,9$.

U skupu $\{X,Y,B_1,\ldots,B_9\}$ neka je svatko svakog pobijedio točno jednom.

Uz takve ishode utakmica ekipa $A$ ima $9+2\cdot2=13$ pobjeda, tj. $26$ bodova.

Ekipe $X$ i $Y$ imaju po $10$ pobjeda, tj. $20$ bodova (jer su po jednom pobijedile sve protivnike iz skupa $\{X,Y,B_1,\ldots,B_9\}$ kojih ima $10$).

Ekipe $B_i$, $i=1,\ldots,9$, imaju po $11$ pobjeda, tj. $22$ boda (jer su također po jednom pobijedile sve protivnike iz skupa $\{X,Y,B_1,\ldots,B_9\}$ i jednom su pobijedile ekipu $A$).