1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $z=x+yi$. Tada je

$$\begin{aligned} \operatorname{Re}\left(\frac{z-i}{z+i}\right) &=\operatorname{Re}\left(\frac{x+(y-1)i}{x+(y+1)i}\right)\\ &=\operatorname{Re}\left(\frac{(x+(y-1)i)(x-(y+1)i)}{(x+(y+1)i)(x-(y+1)i)}\right)\\ &=\operatorname{Re}\left(\frac{(x+(y-1)i)(x-(y+1)i)}{x^2+(y+1)^2}\right)\\ &=\operatorname{Re}\left(\frac{x^2+y^2-1-2xi}{x^2+(y+1)^2}\right) =\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y+1)^2}. \end{aligned}$$

Dakle, iz uvjeta $\operatorname{Re}\left(\frac{z-i}{z+i}\right)=0$ slijedi $x^2+y^2=1$, odnosno $|z|=1$.

Drugo rješenje.

Neka je $w=\frac{z-i}{z+i}$. Ako je $\operatorname{Re}w=0$, onda je $w+\overline{w}=0$.

Budući da je $\overline{w}=\frac{\overline{z}+i}{\overline{z}-i}$, slijedi

$$0=\frac{z-i}{z+i}+\frac{\overline{z}+i}{\overline{z}-i} =\frac{(z-i)(\overline{z}-i)+(\overline{z}+i)(z+i)}{(z+i)(\overline{z}-i)},$$

odnosno

$$(z-i)(\overline{z}-i)+(\overline{z}+i)(z+i)=0.$$

Sređivanjem dobivamo

$$z\overline{z}-iz-i\overline{z}+i^2+z\overline{z}+iz+i\overline{z}+i^2=0,$$

tj. $z\overline{z}=1$.

Dakle, $|z|^2=z\overline{z}=1$, tj. $|z|=1$.

Treće rješenje.

Ako je $\operatorname{Re}\left(\frac{z-i}{z+i}\right)=0$, onda je

$$\frac{z-i}{z+i}=bi$$

za neki realni broj $b$.

Rješavanjem te jednadžbe po $z$ dobivamo

$$z=\frac{b-i}{-1+bi} =\frac{b-i}{-1+bi}\cdot\frac{-1-bi}{-1-bi} =\frac{-2b+i(1-b^2)}{b^2+1}.$$

Sada je

$$\begin{aligned} |z|^2 &=\frac{4b^2}{(b^2+1)^2}+\frac{(1-b^2)^2}{(b^2+1)^2}\\ &=\frac{4b^2+1-2b^2+b^4}{b^4+2b^2+1}=1, \end{aligned}$$

iz čega slijedi $|z|=1$.