6. Zadatak

Neka je $r$ polumjer kružnog isječka, a $l$ duljina njegovog luka. Onda je $2r+l=d$.

Površina kružnog isječka je

$$P=\frac{rl}{2}.$$

Zato je

$$P=\frac{rl}{2}=\frac12r(d-2r).$$

Primijetimo da je ovisnost $P$ o $r$ dana kvadratnom funkcijom

$$P(r)=-r^2+\frac12dr.$$

Najveća vrijednost te funkcije postiže se za $r=\frac{d}{4}$.

Uvrštavanjem vrijednosti $r=\frac{d}{4}$ dobivamo da najveća moguća površina iznosi

$$\frac{d^2}{16}.$$

Formulu za površinu kružnog isječka $P=\frac{rl}{2}$ učenik ne mora izvoditi. Ako tu formulu ne zna, može je izvesti na sljedeći način. Neka je $\alpha$ mjera kuta koji zatvaraju dva polumjera kružnog isječka. Tada je površina kružnog isječka jednaka

$$P=\frac{\alpha}{360^\circ}\,r^2\pi,$$

a duljina luka tog kružnog isječka

$$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2r\pi.$$

Eliminacijom varijable $\alpha$ dobivamo traženu formulu.

Najveća moguća vrijednost površine može se odrediti i primjenom nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine. Primijenimo li tu nejednakost na pozitivne brojeve $r$ i $\frac{d}{2}-r$, vidimo da je

$$P=r\left(\frac{d}{2}-r\right)\le\left(\frac{r+\frac{d}{2}-r}{2}\right)^2=\frac{d^2}{16}.$$

U ovom pristupu nije potrebno komentirati da se najveća moguća vrijednost postiže za $r=\frac{d}{4}$, iako to lako vidimo jer se jednakost postiže ako i samo ako je $r=\frac{d}{2}-r$.