6. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo suprotno tvrdnji, da nisu sve četiri nultočke međusobno različite. S obzirom da svaka funkcija ima dvije različite nultočke, to znači da promatrane kvadratne funkcije imaju jednu zajedničku nultočku. (Ne mogu imati dvije zajedničke nultočke, jer bi se tada funkcije $p$ i $q$ podudarale.)

Označimo tu zajedničku nultočku s $x_0$. Tada je

$$x_0^2+dx_0+a=0\qquad\text{i}\qquad x_0^2+cx_0+b=0.$$

Oduzimanjem ovih jednakosti dobivamo

$$dx_0+a=cx_0+b,$$

odakle je

$$x_0=\frac{b-a}{d-c}.$$

Zbog danih uvjeta je $b-a>0$ i $d-c>0$ pa je i $x_0>0$. No, funkcije $p$ i $q$ ne mogu imati pozitivnu realnu nultočku jer su im svi koeficijenti pozitivni. Time smo dobili kontradikciju. Stoga je pretpostavka pogrešna što znači da su sve četiri nultočke međusobno različite.

Drugo rješenje.

Skicirajmo grafove danih funkcija u koordinatnom sustavu. Ti grafovi su sukladne parabole, jer su obje translacije parabole $y=x^2$.

Kako su vrijednosti danih funkcija za sve $x>0$ pozitivne, njihove nultočke su negativni realni brojevi pa obje parabole sijeku negativni dio osi $x$ u dvjema točkama.

Parabola $y=x^2+dx+a$ siječe os $y$ u točki $(0,a)$, a parabola $y=x^2+cx+b$ u točki $(0,b)$. Kako je $a<b$, prvo sjecište je ispod drugoga.

Apscisa tjemena parabole $y=x^2+dx+a$ je $-\frac d2$, a apscisa tjemena parabole $y=x^2+cx+b$ je $-\frac c2$. Kako je $d>c$, vrijedi $-\frac d2<-\frac c2$ pa se tjeme prve parabole nalazi lijevo od tjemena druge.

Zaključujemo da parabola čije je tjeme lijevo mora sjeći os $y$ u nižoj točki.

$$(*)$$

Pretpostavimo suprotno tvrdnji, da nisu sve četiri nultočke međusobno različite. To znači da promatrane kvadratne funkcije imaju jednu zajedničku nultočku. Moguća su tri slučaja, ovisno o tome koja je nultočka zajednička.

U prvom slučaju zajednička nultočka je manja nultočka obje funkcije. U drugom slučaju zajednička nultočka je veća nultočka jedne i manja nultočka druge funkcije. U trećem slučaju zajednička nultočka je veća nultočka obje funkcije.

Promatrajući skice vidimo da ni u jednom slučaju ne može biti ispunjeno $(*)$. Stoga je pretpostavka pogrešna. Sve četiri nultočke su međusobno različite.