3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $|AN|=x$ i $|CN|=v$.

Prema Euklidovom poučku, vrijedi $|AN|\cdot|NB|=|NC|^2$ odnosno $x\cdot1=v^2$.

Prema Pitagorinom poučku, vrijedi $|CN|^2=|AC|^2-|AN|^2$ tj. $v^2=1-x^2$.

Slijedi $x=1-x^2$ odnosno $x^2+x-1=0$. Rješenje ove jednadžbe je

$$x=\frac{-1+\sqrt5}{2}$$

(drugo rješenje je negativno), pa je duljina hipotenuze

$$|AB|=|AN|+|NB|=x+1=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $|AN|=x$. Po Pitagorinom poučku vrijedi

$$\begin{aligned} |CN|^2&=|AC|^2-|AN|^2=1-x^2,\\ |BC|^2&=|CN|^2+|BN|^2=(1-x^2)+1^2=2-x^2,\\ |AB|^2&=|AC|^2+|BC|^2=1^2+(2-x^2)=3-x^2. \end{aligned}$$

Kako je $|AB|=|AN|+|NB|=x+1$ dobivamo jednadžbu $(x+1)^2=3-x^2$, odnosno $x^2+x-1=0$, čije je jedino pozitivno rješenje

$$x=\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$

Konačno, duljina hipotenuze je

$$c=x+1=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

Napomena. Bez uvođenja nepoznanice $x$ na isti način može se dobiti jednadžba za duljinu hipotenuze, $c^2-c-1=0$.