5. Zadatak

Prvo rješenje.

Dužina duljine $\sqrt5$ je dijagonala točno jednog pravokutnika $2\times1$ ili $1\times2$ s vrhovima na toj mreži točaka. Pravokutnik $2\times1$ (horizontalni) možemo u bilo koji od 99 redaka postaviti na 198 mjesta. Pravokutnik $1\times2$ (vertikalni) možemo postaviti u bilo koji od 199 stupaca na 98 mjesta. Ukupan broj njihovih dijagonala (tj. traženih dužina duljine $\sqrt5$) je

$$2(99\cdot198+199\cdot98)=78208.$$

Drugo rješenje.

Najprije ćemo odrediti koliko dužina možemo povući iz pojedine točke (ovisno koliko je blizu rubu) i koliko takvih točaka ima.

Iz četiri točke $\star$ u samim kutovima mogu se povući po dvije dužine duljine $\sqrt5$. Iz osam točaka označenih sa $\square$ moguće je povući po tri takve dužine, a iz svake od četiri točke $\times$ po četiri takve dužine. Iz ostalih točaka na rubu, označenih sa $\triangle$, možemo povući po četiri dužine duljine $\sqrt5$. Takvih točaka ima $2\cdot196+2\cdot96=584$.

Iz točaka označenih sa $\diamond$, u retku ili stupcu do ruba, možemo povući po šest takvih dužina. Takvih točaka ima također $2\cdot196+2\cdot96=584$. Svaka unutrašnja točka $\odot$ kraj je za osam dužina duljine $\sqrt5$. Takvih točaka ima $196\cdot96=18816$.

Kada sve to zbrojimo dobit ćemo dvostruki broj dužina duljine $\sqrt5$ jer svaka dužina ima dva kraja. Stoga je konačni rezultat

$$\frac12(4\cdot2+8\cdot3+4\cdot4+584\cdot4+584\cdot6+18816\cdot8)=78208.$$