7. Zadatak

Neka pravac $DE$ siječe dijagonalu $AC$ u točki $F$.

Dijagonale paralelograma se raspolavljaju pa je točka $S$ polovište od $AC$. Kako je točka $F$ polovište od $AS$, vrijedi $|AF|:|FC|=1:3$.

Kutovi $\angle ADE$ i $\angle DEC$ su sukladni (kutovi uz presječnicu $DE$ paralelnih pravaca $AD$ i $CE$), kao i kutovi $\angle AFD$ i $\angle CFE$ (vršni kutovi) pa su trokuti $ADF$ i $CEF$ slični.

To znači $|AD|:|CE|=|AF|:|FC|$ i sada slijedi $|CE|=3|AD|$.

Kako je $ABCD$ paralelogram, $|AD|=|BC|$ pa je

$$|BE|=|EC|-|BC|=3|BC|-|BC|=2|BC|,$$

a traženi omjer $|BE|:|BC|=2:1$.

Također, iz $\angle ADE=\angle DEC$, koristeći činjenicu da je $DE$ simetrala kuta $\angle ADC$, tj. da je $\angle ADE=\angle EDC$, zaključujemo da je $\angle EDC=\angle DEC$ pa je trokut $DCE$ jednakokračan i vrijedi $|CD|=|CE|$.

Kako je $|AB|=|CD|$, a $|CE|=3|AD|=3|BC|$, vidimo da je $|AB|=3|BC|$, tj. $|AB|:|BC|=3:1$.