1. Zadatak

Prvo rješenje.

Primijenimo li modul na zadanu jednadžbu, dobivamo

$$|z|^3=|z^3|=|\overline{z}|=|z|.$$

Iz $|z|(|z|^2-1)=0$, zaključujemo da je $|z|=0$ ili $|z|=1$.

Ako je $|z|=0$, onda je $z=0$. To je očito jedno rješenje početne jednadžbe. Dalje rješavamo početnu jednadžbu uz uvjet $|z|=1$. Množenjem sa $z$ dobivamo

$$z^4=z\overline z.$$

Kako je $|z|=1$, vrijedi

$$z^4=z\overline z=|z|^2=1.$$

Rješenja jednadžbe $z^4=1$ su $1,-1,i,-i$. Budući da je $|z|=1$, rješenja jednadžbe $z^4=1$ su i rješenja jednadžbe $z^4=z\overline z$, a budući da je $z\ne0$ to su i rješenja jednadžbe $z^3=\overline z$.

Dakle, rješenja su $0,1,i,-1,-i$.

Drugo rješenje.

Uvrstimo li $z=a+bi$ (za $a,b\in\mathbb R$) i primijenimo formulu za kub binoma, dobivamo

$$a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=a-bi.$$

Izjednačavanjem realnih i imaginarnih dijelova dobivamo

$$a^3-3ab^2=a,\qquad 3a^2b-b^3=-b.$$

Zapišemo li sustav na sljedeći način,

$$a(a^2-3b^2-1)=0,\qquad b(3a^2-b^2+1)=0,$$

dobivamo četiri slučaja:

• Ako je $a=0$, $b=0$, imamo rješenje $z=0$.

• Ako je $a=0$, $b\ne0$, imamo $3a^2-b^2+1=0$, tj. $b^2=1$. Dobili smo dva rješenja $z=i$, $z=-i$.

• Ako je $a\ne0$, $b=0$, imamo $a^2-3b^2-1=0$, tj. $a^2=1$. Dobili smo dva rješenja $z=1$ i $z=-1$.

• Ako je $a\ne0$ i $b\ne0$, imamo $a^2-3b^2=1$ i $3a^2-b^2=-1$. Zbrajanjem dobivamo $4a^2=4b^2$, tj. $a^2=b^2$, što uvrštavanjem u prvu jednadžbu daje

  $$1=a^2-3b^2=-2a^2,$$

  što nije moguće jer su $a$ i $b$ realni brojevi. U ovom slučaju nema rješenja.

Dakle, rješenja su $0,1,i,-1,-i$.