5. Zadatak

Prvo rješenje.

Broj dužina koje spajaju plave vrhove je

$$\frac{n(n-1)}{2}.$$

Isto vrijedi za dužine koje spajaju crvene vrhove, pa iz danog uvjeta slijedi

$$2\cdot\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)=3192.$$

Rastavljanjem na proste faktore $3192=2^3\cdot3\cdot7\cdot19=56\cdot57$, vidimo da su rješenja dobivene kvadratne jednadžbe $n=57$ i $n=-56$. Jedino pozitivno rješenje je $n=57$.

Svaka dužina koja spaja vrhove različite boje spaja jedan crveni vrh i jedan plavi vrh. Zato je traženi broj

$$n\cdot n=57^2=3249.$$

Drugo rješenje.

Svaki vrh je spojen s $n-1$ drugih vrhova iste boje, a svaka dužina spaja dva vrha. Zato je broj dužina koje spajaju vrhove iste boje jednak

$$\frac{2n(n-1)}{2}=n(n-1)=3192.$$

Dobivena kvadratna jednadžba ima točno jedno pozitivno realno rješenje (i točno jedno negativno rješenje). Budući da je $57\cdot56=3192$, slijedi da je $n=57$.

Svaki vrh je spojen s $n$ drugih vrhova različite boje. Traženi broj je

$$\frac{2n\cdot n}{2}=n^2=57^2=3249.$$