6. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da trokuti $APB$ i $CPD$ imaju iste kutove, pa su slični. Neka je $a=|AB|$, $c=|CD|$, te neka su $v_a$ i $v_c$ duljine visina iz točke $P$ na $AB$ i $CD$, redom. Označimo

$$k=\frac{a}{c}=\frac{v_a}{v_c}.$$

Površinu trapeza $ABCD$ možemo izraziti koristeći $v_a$ i $v_c$ na sljedeći način:

$$25=\frac{a+c}{2}(v_a+v_c).$$

Budući da je $a=kc$ i $v_a=kv_c$, slijedi

$$50=(a+c)(v_a+v_c)=(kc+c)(kv_c+v_c)=(k+1)^2cv_c.$$

Budući da je

$$9=P(CDP)=\frac{cv_c}{2},$$

slijedi

$$50=(k+1)^2\cdot18,$$

tj. $k=\frac23$.

Konačno slijedi

$$P(ABP)=\frac{av_a}{2}=\frac{k^2cv_c}{2}=\frac49\cdot9=4.$$

Drugo rješenje.

Uočimo da trokuti $APB$ i $CPD$ imaju iste kutove, pa su slični. Neka je $|AB|=k|CD|$. Tada je

$$P(ABP)=9k^2.$$

Trokuti $ABC$ i $ABD$ imaju iste osnovice i sukladne visine, pa zaključujemo da vrijedi $P(ABC)=P(ABD)$. Slijedi

$$P(ABP)+P(BCP)=P(ABP)+P(APD),$$

pa je $P(BCP)=P(APD)$.

Označimo $P(BCP)=P(APD)=X$.

Trokuti $ABC$ i $CDA$ imaju sukladne visine, pa vrijedi

$$\frac{P(ABC)}{P(CDA)}=\frac{|AB|}{|CD|}=k.$$

Budući da je

$$P(ABC)=P(ABP)+P(BCP)=9k^2+X$$

i

$$P(CDA)=P(CDP)+P(ADP)=9+X,$$

slijedi

$$9k^2+X=k(9+X),\qquad\text{tj.}\qquad X=9k.$$

Budući da je $P(ABCD)=25$, slijedi

$$25=9k^2+2X+9=9k^2+18k+9.$$

Rješavanjem kvadratne jednadžbe $9k^2+18k-17=0$ dobivamo $k=\frac23$ (drugo rješenje je negativno). To znači da je

$$P(ABP)=9k^2=4.$$