3. Zadatak

Prvo rješenje.

Broj $ab$ je djeljiv s $3$ ako i samo ako je barem jedan od brojeva $a$ ili $b$ djeljiv s $3$. Pretpostavimo suprotno da $a$ i $b$ nisu djeljivi s $3$.

Ako $x$ nije djeljiv s $3$, onda $x^2$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$. Zaista,

$$(3k\pm1)^2=9k^2\pm6k+1=3(3k^2\pm2k)+1.$$

Zato $b^2$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$, a $8a^2+1$ daje ostatak $0$ pri dijeljenju s $3$. To je kontradikcija s $b^2=8a^2+1$.

Dakle, početna pretpostavka je kriva, tj. $ab$ je djeljiv s $3$.

Drugo rješenje.

Imamo dva slučaja: $a$ je ili nije djeljiv s $3$. Ako je $a$ djeljiv s $3$, tvrdnja vrijedi.

Ako $a$ nije djeljiv s $3$, onda je $a=3k\pm1$, pa vrijedi

$$b^2=8a^2+1=8(9k^2\pm6k+1)+1=3(8\cdot3k^2\pm8\cdot2k+3),$$

pa je u tom slučaju $b^2$ djeljiv s $3$.

To je moguće samo ako je $b$ djeljiv s $3$, pa je i u ovom slučaju $ab$ djeljiv s $3$.