2. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvrstimo u drugu jednadžbu $y=2\sqrt{7}-x$ i transformirajmo dobivenu jednadžbu:

$$x(2\sqrt{7}-x)-2z^2=7,$$ $$x^2-2x\sqrt{7}+7+2z^2=0,$$ $$(x-\sqrt{7})^2+2z^2=0.$$

Kako kvadrati realnih brojeva ne mogu biti negativni, ova je jednadžba zadovoljena samo za $x=\sqrt{7}$, $z=0$.

Tada je $y=\sqrt{7}$.

Provjerimo da su za $(x,y,z)=(\sqrt{7},\sqrt{7},0)$ zadovoljene obje jednadžbe. Imamo $\sqrt{7}+\sqrt{7}=2\sqrt{7}=\sqrt{28}$ i $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}-2\cdot0^2=7$.

Drugo rješenje.

Kvadriranjem prve jednadžbe dobivamo

$$x^2+2xy+y^2=28.$$

Oduzmemo li od toga četverostruku drugu jednadžbu, dobivamo

$$x^2+y^2-2xy+8z^2=0,$$

što možemo pisati u obliku

$$(x-y)^2+8z^2=0.$$

Odavde vidimo da mora vrijediti $x=y$ i $z=0$ jer kvadrati realnih brojeva ne mogu biti negativni.

Sada iz prve jednadžbe dobivamo $x=y=\sqrt{7}$.

Provjerimo još da je za $(x,y,z)=(\sqrt{7},\sqrt{7},0)$ zadovoljena i druga jednadžba. Zaista, $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}-2\cdot0^2=7$.