2. Zadatak

Pretpostavimo da postoji takav $n$.

Primijetimo da 5 dijeli $6^n-1=(6-1)(6^{n-1}+\cdots+1)$, pa 5 nužno dijeli i $7^n-1$.

Potencije broja 7 pri dijeljenju s 5 daju ostatke 2, 4, 3, 1, $\ldots$ i ti se ostatci periodički ponavljaju. Zato će $7^n-1$ biti djeljivo s 5 samo ako je $n$ djeljiv s 4, tj. $n=4k$.

Prema formuli za razliku $k$-tih potencija, zaključujemo da $6^4-1$ dijeli $6^{4k}-1$. Nadalje, 7 dijeli

$$6^4-1=(6^2-1)(6^2+1)=35\cdot37=5\cdot7\cdot37.$$

Stoga, 7 dijeli $6^n-1$, pa onda i $7^n-1$, što je kontradikcija.