4. Zadatak

Neka je $n=4k$. Tada Ante može postići da svi brojevi na ploči budu jednaki na sljedeći način: on povećava za 1 brojeve 1 i 3, 5 i 7, $\ldots$, $4k-3$ i $4k-1$. Time na ploči dobiva sve parne brojeve manje ili jednake $n$ napisane po dva puta. Na kraju, 2 i 2 poveća za $n-2$, 4 i 4 za $n-4$, $\ldots$, $n-2$ i $n-2$ za 2, te dobiva da su svi brojevi na ploči jednaki $n$.

Neka je $n=2k+1$. Tada Ante može postići da svi brojevi na ploči budu jednaki na sljedeći način: on povećava za 1 brojeve 1 i $n$, 3 i $n$, $\ldots$, $n-2$ i $n$. Time na ploči dobiva sve parne brojeve manje ili jednake $n$ napisane po dva puta i broj

$$\frac{3n-1}{2}.$$

Na kraju, 2 i 2 poveća za $\frac{3n-5}{2}$, 4 i 4 poveća za $\frac{3n-9}{2}$, $\ldots$, $n-1$ i $n-1$ poveća za $\frac{n+1}{2}$.

Neka je $n=4k+2$. Tada Ante ne može postići da svi brojevi budu jednaki. Zbroj svih brojeva na ploči je na početku neparan, jer je

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2=(2k+1)(4k+3).$$

Prilikom svakog koraka zbroj brojeva na ploči se povećava za paran broj, pa nikada neće moći biti paran koliki bi trebao biti u slučaju da su svi brojevi na ploči (kojih ima paran broj) jednaki.

Ante može postići da su svi brojevi na ploči jednaki ako i samo ako $n$ nije oblika $4k+2$, $k\in\mathbb N$.