5. Zadatak

Dovoljno je dokazati da je $\angle ECA=\angle HGA$.

Budući da je četverokut $ACBE$ tetivan, vrijedi $\angle ECA=\angle EBA$, pa je dovoljno pokazati da je $ABGH$ tetivni četverokut.

Iz trokuta $DEH$ imamo $\angle DHE=180^\circ-\angle EDH-\angle HED$, odnosno

$$\angle AHB=\angle DHE=180^\circ-\angle FDA-(180^\circ-\angle CEB),$$

te koristeći da je $\angle CEB=\angle CAB$ (što vrijedi jer je $ACBE$ tetivni četverokut) slijedi

$$\angle AHB=180^\circ-\angle FDA-(180^\circ-\angle CAB)=180^\circ-\angle FDA-\angle BAG.$$

Četverokut $ADBF$ je tetivan, pa vrijedi $\angle ADF=\angle ABF=\angle ABG$. Odavde dobivamo

$$\angle AHB=180^\circ-\angle FBA-\angle BAG =180^\circ-\angle GBA-\angle BAG =\angle AGB.$$

To povlači da je $ABGH$ tetivni četverokut, pa je dokaz završen.