3. Zadatak

Uočimo da je

$$\frac{a^4+3ab^3}{a^3+2b^3} =\frac{a(a^3+2b^3)+ab^3}{a^3+2b^3} =a+\frac{ab^3}{a^3+2b^3}.$$

Po nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine slijedi

$$a^3+2b^3=a^3+b^3+b^3\ge 3\sqrt[3]{a^3b^3b^3}=3ab^2.$$

Zaključujemo da je

$$\frac{a^4+3ab^3}{a^3+2b^3} =a+\frac{ab^3}{a^3+2b^3} \le a+\frac{ab^3}{3ab^2} =a+\frac b3.$$

Na isti način dobivamo

$$\frac{b^4+3bc^3}{b^3+2c^3}\le b+\frac c3 \quad\text{i}\quad \frac{c^4+3ca^3}{c^3+2a^3}\le c+\frac a3,$$

pa zbrajanjem nejednakosti slijedi

$$\frac{a^4+3ab^3}{a^3+2b^3} +\frac{b^4+3bc^3}{b^3+2c^3} +\frac{c^4+3ca^3}{c^3+2a^3} \le \frac43(a+b+c).$$

Na kraju korištenjem nejednakosti između aritmetičke i kvadratne sredine dobivamo

$$4\cdot\frac{a+b+c}{3} \le 4\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} =4.$$

Time je dokaz završen.