3. Zadatak

Prvo rješenje:

Neka je $n\ge8$ prirodan broj. Prema uvjetu iz zadatka vrijedi

$$\begin{aligned} f(n)&=f(4+(n-4))=f(4(n-4))=f(2(n-4)+2(n-4))\\ &=f(4(n-4)(n-4))=f(4(n-4)+(n-4))\\ &=f(5(n-4))=f(5+n-4)=f(n+1). \end{aligned}$$

Dakle, po principu matematičke indukcije zaključujemo da je $f(n)=f(8)$ za sve $n\ge8$.

Drugo rješenje:

Tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom. Za $n=8$ tvrdnja je očita. Za $n=9$ računamo

$$\begin{aligned} f(9)&=f(4+5)=f(20)=f(4+16)=f(64)\\ &=f(8\cdot8)=f(16)=f(4\cdot4)=f(8). \end{aligned}$$

Pretpostavimo da je $n>9$ takav da je $f(m)=f(8)$ za sve $8\le m<n$. Ako je $n$ paran, tada je $n=2k$ za neki $k>4$. Vrijedi

$$\begin{aligned} f(2k)&=f(k^2)=f(k^2-4+4)=f(4(k^2-4))\\ &=f((2k-4)(2k+4))=f(4k)=f(k+4). \end{aligned}$$

Za $k>4$ je $k+4<2k=n$, pa je prema pretpostavci $f(k+4)=f(8)$.

Ako je $n$ neparan, vrijedi $n=2k+1$ za neki $k>4$. Imamo

$$\begin{aligned} f(2k+1)&=f(k(k+1))=f(k(k+1)-6+6)=f(6(k^2+k-6))\\ &=f(3(k-2)\cdot2(k+3))=f(3k-6+2k+6)=f(5k)=f(k+5). \end{aligned}$$

Za $k>4$ je $k+5<2k+1=n$, pa je prema pretpostavci $f(k+5)=f(8)$. U oba slučaja vrijedi $f(n)=f(8)$.