2. Zadatak

Ako je $z=x+yi$ Gaussov cijeli broj, tada je

$$|z|^2=x^2+y^2.$$

Kvadrati cijelih brojeva pri dijeljenju s $4$ daju ostatak $0$ ili $1$, pa njihov zbroj može dati samo ostatak $0$, $1$ ili $2$. Ako je $n>3$, među četiri uzastopna prirodna broja postoji broj koji daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $4$, što nije moguće za kvadrat apsolutne vrijednosti Gaussova cijelog broja. Zato je $n\le3$.

Granica se postiže, na primjer, Gaussovim cijelim brojevima $2+2i$, $3$ i $3+i$, jer su njihovi kvadrati apsolutnih vrijednosti redom

$$|2+2i|^2=8,\qquad |3|^2=9,\qquad |3+i|^2=10.$$

Najveći mogući broj je $3$.