1. Zadatak

Prvo rješenje:

Kako je $x_i\in[0,1]$, imamo $x_i\ge x_i^2$, tj.

$$4(x_1+\cdots+x_n)\ge4(x_1^2+\cdots+x_n^2).$$

Uvedimo oznaku $S=x_1+\cdots+x_n$. Zbog gornje ocjene dovoljno je dokazati

$$(S+1)^2\ge4S.$$

Ta nejednakost očito vrijedi jer je ekvivalentna s $(S-1)^2\ge0$.

Drugo rješenje:

Dokažimo nejednakost indukcijom po $n\in\mathbb N$.

Baza indukcije, $n=1$:

$$(x_1+1)^2\ge4x_1^2\quad\Longleftrightarrow\quad(1-x_1)(3x_1+1)\ge0.$$

Pretpostavka indukcije: pretpostavimo da za svaki izbor brojeva $x_1,\ldots,x_n\in[0,1]$ vrijedi

$$(x_1+\cdots+x_n+1)^2\ge4(x_1^2+\cdots+x_n^2).$$

Korak indukcije: dokažimo da analogna tvrdnja vrijedi i za izbor brojeva $x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}\in[0,1]$. Budući da je nejednakost simetrična, bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $x_{n+1}$ najmanji među njima. Tada je

$$x_{n+1}=\frac1n(x_{n+1}+\cdots+x_{n+1})\le\frac1n(x_1+\cdots+x_n).$$

Uvedimo oznaku $S=x_1+\cdots+x_n$. Slijedi $x_{n+1}\le S/n$, odnosno $S\ge nx_{n+1}$. Prema pretpostavci indukcije dobivamo

$$\begin{aligned} (S+x_{n+1}+1)^2 &=(S+1)^2+2(S+1)x_{n+1}+x_{n+1}^2\\ &\ge4\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2Sx_{n+1}+2x_{n+1}+x_{n+1}^2\\ &\ge4\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2n x_{n+1}^2+2x_{n+1}+x_{n+1}^2\\ &=4\sum_{i=1}^{n}x_i^2+(2n+1)x_{n+1}^2+2x_{n+1}\\ &\ge4\sum_{i=1}^{n}x_i^2+(2n+3)x_{n+1}^2\\ &\ge4\sum_{i=1}^{n}x_i^2+4x_{n+1}^2\\ &=4\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2+x_{n+1}^2\right). \end{aligned}$$

Pri tome smo koristili $x_{n+1}\ge x_{n+1}^2$ i činjenicu da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi $2n+3\ge4$. Prema principu matematičke indukcije tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve $n$.