3. Zadatak

Prvo rješenje.

Promotrimo pravac koji prolazi točkom $C$ i okomit je na pravac $DE$, te s $F$ i $G$ redom označimo njegova sjecišta s pravcima $AD$ i $DE$.

Taj pravac $FC$ okomit je na $DE$ kao i pravac $AM$. Zato su pravci $FC$ i $AM$ međusobno paralelni.

Četverokutu $AMCF$ parovi nasuprotnih stranica leže na paralelnim pravcima, pa je zato paralelogram. Zaključujemo da je $|AF|=|MC|$.

Dodatno, kako je $M$ polovište stranice $BC$, vrijedi $|AF|=\frac12|BC|=\frac12|AD|$.

U trokutu $ADE$ dužina $FG$ prolazi polovištem jedne stranice i paralelna je s drugom stranicom. Zaključujemo da je to srednjica, pa je $G$ polovište dužine $ED$.

Promotrimo trokute $CGE$ i $CGD$. To su pravokutni trokuti s pravim kutom pri vrhu $G$, imaju jedan par stranica jednake duljine ($|GE|=|GD|$), te dijele stranicu $CG$. Zato su sukladni prema S–K–S poučku o sukladnosti.

Iz te sukladnosti zaključujemo da je $|CE|=|CD|$, što je i trebalo pokazati.

Drugo rješenje.

Neka je $T$ sjecište pravaca $AM$ i $CD$.

Prema Talesovom poučku, kako su pravci $CM$ i $DA$ paralelni, vrijedi

$$\frac{|TC|}{|TD|}=\frac{|CM|}{|DA|}.$$

Dodatno, kako je $M$ polovište stranice $BC$, zaključujemo da je $|TD|=2|TC|$, odnosno $C$ je polovište dužine $DT$.

U pravokutnom trokutu $DET$, $C$ je polovište hipotenuze, a time i središte tom trokutu opisane kružnice.

Zato je točka $C$ jednako udaljena od svih vrhova trokuta $DET$, a posebno je i $|CD|=|CE|$, što je i trebalo dokazati.